円盤一様サンプリング

ひとことで

円（円盤）の中に、面積に対して均等に点を選ぶ方法です。「半径と角度をそれぞれ乱数で選ぶ」と、中心に点が集まってしまいます。半径 $r$ の内側の面積は $r^2$ に比例するので、半径には乱数の平方根を使うのが正解です。さらに、正方形の上で層化した点を、区画の形をなるべく崩さずに円盤へ写す「同心写像」（シャーリーとチウの方法）もよく使われます。

ゲームでの使いどころ

• 円形の範囲への配置：プレイヤーの周り半径 10 m のどこかに敵を出す、爆発の範囲に破片を散らす、円形の池の周りに石を置く。
• 弾のばらつき：散弾の広がりを円の中で均等にする（中心に集めたいなら正規分布）。
• 被写界深度とソフトシャドウ：被写界深度のレンズの口径や、光源の円盤の上に標本を置く。層化した点を同心写像で写すと、少ない標本でもむらが少ない。
• 余弦重みの方向：円盤の点を真上へ持ち上げると、余弦重みの半球の方向になる（マリーの方法）。

しくみ

平方根を使う理由：半径 $r$（0〜1）より内側に入る確率は、面積の比 $r^2$ でなければなりません。一様乱数 $u$ に対して $r^2 = u$、つまり $r = \sqrt{u}$ とすれば、この条件を満たします（逆 CDF 法の例）。角度は $\theta = 2\pi v$ で一様です。

同心写像：正方形 $[-1, 1]^2$ の点 $(a, b)$ を、正方形の同心の枠が円盤の同心の輪へ移るように写します。

点は $(r\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ です。面積は保たれ（一様のまま）、区画の縦横比のゆがみも小さいので、層化や低食い違い列の均等さがそのまま残ります。平方根の方法では、中心の区画が細い扇形に、外側の区画が平たい帯になり、隣り合う点どうしの距離が崩れます。

棄却法：円を囲む正方形に点を打ち、外に出たものを捨てます。簡単で正しいのですが、$1 - \pi/4 \approx 21.5\%$ が無駄になり、必要な乱数の数も一定になりません。

実装のポイント

• ドーナツ形（輪）：内側の半径 $r_0$ と外側 $r_1$ の間なら、$r = \sqrt{r_0^2 + u\,(r_1^2 - r_0^2)}$ とします。
• だ円：円盤の点を軸ごとに拡大すれば、だ円の中でも一様のままです（面積の比が保たれるため）。
• シェーダーでは：同心写像の分岐は、GPU でも問題になるほどの負荷ではありません。固定の標本配置なら、あらかじめ計算して定数の配列にします。

つまずきやすい点

• 半径をそのまま一様に：もっともよくある誤りです。中心の小さな円に、面積の割に多くの点が入ります。
• 原点での割り算：同心写像は $a = b = 0$ で 0 で割ることになるので、先に場合分けします。
• 層化の効果が消える：せっかく層化した点も、ゆがみの大きい写像で写すと、点の間隔が不ぞろいになります。

デモで試すこと

1. 左の正方形には、区画ごとに 1 つずつ層化した点が並んでいます。右がそれを円盤へ写した結果で、区画の模様も一緒に写しています。
2. 「半径をそのまま一様に」では、中心の区画が小さくつぶれ、点が中心に集まります。右下のグラフ（面積の等しい輪ごとの点の数）の左端が高くなります。
3. 「半径を平方根に」ではグラフが平らになりますが、区画の形が中心で細い扇形にゆがみます。「同心写像」では、面積も区画の形もほぼ保たれます。
4. 「棄却法」では、赤い点（捨てた点）の割合を確かめてください。「正方形から円盤への変形を動かす」で、写像の様子を連続的に見られます。