ベルレ積分

ひとことで

速度を持たずに、今の位置と 1 つ前の位置だけを覚えておき、その差を速度とみなして次の位置を決める方法です。位置を直接書き換えても自然に速度へ反映されるので、「点同士の距離を元に戻す」補正をくり返すだけで、ロープ、鎖、布、ラグドールが作れます。

ゲームでの使いどころ

• ロープ・鎖・吊り橋：点を並べて距離の拘束でつなぐだけで、たわみ、揺れ、物が載ると沈むロープになります。
• 布とマント：格子状の点を距離の拘束でつなぐと布になります。
• ラグドール：『ヒットマン』（2000 年）で、Thomas Jakobsen がベルレ積分と距離の拘束でキャラクターの倒れる動きを作ったことで広く知られるようになりました。
• パーティクル：衝突で位置を押し戻すだけで、跳ね返りの速度が自動的に決まるので、大量の粒子の処理にも向きます。

しくみ

位置 $\mathbf{x}$ だけで運動方程式を差分にすると、次の式になります（位置ベルレ法）。

• $(\mathbf{x}_n - \mathbf{x}_{n-1})$ が「前のステップで動いた量」、つまり速度 × 時間刻みの代わりです。
• 速度を明示的に持たないので、位置を直接直すと、次のステップの速度も一緒に変わります。例えば衝突で床の上へ押し戻すと、前の位置との差（下向きの速度）が小さくなり、自然に止まります。

距離の拘束でロープを作る

1. 動かす：全部の点を上の式で進めます（重力で落ちる）。
2. 距離を直す：つながった 2 点の距離が元の長さ $L$ と違えば、差の半分ずつ両方の点を動かして $L$ に戻します。固定された点は動かさず、相手だけを動かします。

3. くり返す：1 本直すと隣がずれるので、全部の拘束を何回も（5〜20 回ほど）くり返し直します。回数が多いほどロープは伸びにくくなります。
4. 衝突：球や地面にめり込んだ点は、表面まで押し戻すだけです。

この「位置を動かしてから拘束で直す」考え方を一般化したものが位置ベース物理です。

実装のポイント

• 時間刻みは一定に：式に $\Delta t^2$ が入り、前の位置との差を速度として使うので、刻みが変わると速度の意味が変わってしまいます。固定タイムステップで動かします。
• 減衰は差に掛ける：$(\mathbf{x}_n - \mathbf{x}_{n-1})$ に 0.99 などを掛けると空気抵抗になります。
• 速度が必要なとき：音を鳴らす、ダメージを計算するなど、速度が必要な場合は $(\mathbf{x}_n - \mathbf{x}_{n-1}) / \Delta t$ で求めます。

つまずきやすい点

• 反復が足りないとゴムのように伸びる：拘束の数が多い（長いロープ、細かい布）ほど、少ない反復では誤差が伝わりきらず、全体が伸びて見えます。反復を増やすか、固定点に近い順に処理します。
• 重い物と軽い物をつなぐ：両側を半分ずつ動かすと、重い物まで軽い点と同じだけ動いてしまいます。質量の逆数の比で動かす量を分けます。
• 硬さの調整が難しい：硬さは反復回数と時間刻みで変わってしまいます。物理的な硬さを指定したいときは拡張位置ベース物理を使います。

デモで試すこと

1. 赤い球をドラッグして橋に載せると、板が沈み込み、ロープ全体がたわみます。離すと橋が弾んで揺れます。
2. 「左のロープを切る」を押すと、左端の固定が外れ、橋が右の崖にぶら下がって振り子のように揺れます。
3. 「距離の補正回数」を 1〜2 にすると、ロープがゴムのように伸びてだらりと垂れ下がります。「最大の伸び」の数値も大きくなります。
4. 「点と速度を表示」をオンにすると、各点の「今の位置 − 前の位置」（速度の代わり）が青緑の線で見えます。