弧長パラメータ化

ひとことで

曲線のパラメータ $t$ と「曲線に沿って進んだ距離（弧長）$s$」の対応表を作り、距離から $t$ を逆引きする手法です。ほとんどの曲線は $t$ を一定に増やしても一定の速さでは進まないため、「一定速度で動かす」「等間隔に物を並べる」ときに欠かせません。

ゲームでの使いどころ

• 一定速度の移動：レール上のカメラ、乗り物、弾、パトロールする敵。速度むらはプレイヤーにすぐ気づかれます。
• 等間隔の配置：道路の白線、柵の杭、街灯、ロープの結び目などを曲線に沿って等間隔に置く。
• 進捗の表示：「コース全体の何 % まで来たか」を距離で計算するレースの順位判定やミニマップ。
• テクスチャの貼り付け：曲線に沿ったリボンや道路メッシュに、伸び縮みのない UV を与える。

しくみ

弧長は、速度ベクトルの大きさを積分したものです。

ほとんどの曲線でこの積分は解析的に解けないため、実用では数値的な表を作ります。

1. $t$ を $N$ 等分し、各点 $\mathbf{P}(t_k)$ を求める。
2. 隣り合う点の距離を累積して $s_k$ の表を作る（折れ線近似）。
3. 距離 $s$ が与えられたら、表を二分探索して $s_k \le s < s_{k+1}$ となる $k$ を見つけ、区間内を線形補間して $t$ を得る。

デモ右下のグラフは $s(t)$（全長で正規化）です。等速なら点線の直線になるはずが、実際には曲がっています。傾きが緩い区間は $t$ が進んでも距離が伸びない、つまり遅い区間です。

実装のポイント

• 表は形が変わったときだけ作り直す：毎フレーム作る必要はありません。制御点を編集したときに再計算します。
• three.js：Curve.getPointAt(u) と getSpacedPoints(n) はこの表（getLengths）を内部で使っています。
• 精度の目安：分割数はカーブの急さ次第ですが、ゲームでは 100〜200 程度で十分なことがほとんどです。ニュートン法で $t$ を補正するとさらに精度を上げられます。

つまずきやすい点

• 分割数が少ないと速度むらが残る：表の区間内は直線とみなしているので、急カーブでは誤差が出ます。デモで分割数を 3〜5 にすると、水色の車もぎくしゃくします。
• 閉じた曲線の継ぎ目：ループするコースでは、$s = L$（全長）と $s = 0$ が同じ点になるよう、剰余の扱いに注意します。
• 速度が可変の場合：加減速したいなら、距離 $s$ 自体を時間の関数（イージングや物理）で動かし、その $s$ から $t$ を引きます。「速さの設計」と「形の設計」を分離できるのがこの手法の利点です。

デモで試すこと

1. 赤い車（$t$ を一定に増やす）は、通過点が詰まった左上のカーブで遅くなり、間隔の広い長い直線で急加速します。水色の車（弧長）は常に同じ速さです。
2. 「等間隔の目盛り」の赤い点は $t$ を等間隔にした位置、水色は距離を等間隔にした位置です。赤は偏り、水色は均等に並びます。
3. 「弧長テーブルの分割数」を 3 にすると、表が粗すぎて水色の車にも速度むらが出ます。