カトマル・ロムスプライン

ひとことで

並べた通過点をすべて通る滑らかな曲線を、追加の制御ハンドルなしで作れるスプラインです。各点での接線を「前後の点を結ぶ向き」から自動で決めるので、配置するのは通過点だけ。カメラレール、パトロール経路、レースの走行ラインなど、「ここを通ってほしい」という指定が明確な場面の定番です。

区間 $\mathbf{P}_1 \to \mathbf{P}_2$ を描くとき、前後の点 $\mathbf{P}_0, \mathbf{P}_3$ を使って両端の接線を決め、エルミート曲線として補間します。一様な場合の接線は次のとおりです。

\mathbf{T}_1 = \frac{\mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_0}{2}, \qquad \mathbf{T}_2 = \frac{\mathbf{P}_3 - \mathbf{P}_1}{2}

ただし、通過点の間隔が不均一だと、一様パラメータ化では曲線が行き過ぎて尖り（カスプ）や小さなループができます。そこで、点どうしの距離に応じてパラメータの間隔を変えます。

t_{i+1} = t_i + \lVert \mathbf{P}_{i+1} - \mathbf{P}_i \rVert^{\alpha}

$\alpha$	名前	性質
0	一様（uniform）	計算が単純。間隔が偏るとループやカスプが出る
0.5	求心（centripetal）	区間内に自己交差やカスプが生じないことが証明されている
1	弦長（chordal）	大きく膨らみやすいが、曲率の変化はなだらか

実用上は求心（ $\alpha = 0.5$ ）が第一候補です。three.js の CatmullRomCurve3 も curveType: "centripetal" で使えます。

始点と終点の扱い：開いた曲線では最初と最後の区間に「前後の点」がありません。端の点を複製するか、延長した仮想点を置きます。
注視点は別に持つ：カメラの向きを進行方向にすると、急なカーブで画面が大きく振られます。見せたい対象を別の曲線や固定点で持つと安定します（デモの「カメラの向き」）。
速度は弧長で：点の間隔が違うと、 $t$ を一定に進めたときの速さが区間ごとに変わります。getPointAt のような弧長ベースの関数を使います。

高さ方向の揺れ：3D の通過点の高さを少しずつ変えると、区間ごとに上下のうねりが出ます。カメラ酔いの原因になるので、高さは別に滑らかに補間するのも手です。
局所制御はほぼ：1 点を動かすと、その点をはさむ前後 2 区間ずつ（計 4 区間）が変わります。B スプラインほど局所的ではありませんが、実用上は十分です。
2 階微分は連続しない：つなぎ目で曲率が不連続になるため、非常に速い移動では加速度の変化が感じられることがあります。