NURBS

ひとことで

Non-Uniform Rational B-Spline の略で、B スプラインの各制御点に重みを持たせ、ノット間隔も自由（非一様）にした曲線です。重みを使った有理式にすることで、多項式では表せない円・楕円・円弧を誤差ゼロで表現できます。CAD や 3D モデリングツールの標準的な曲線・曲面表現です。

ゲームでの使いどころ

• 正確な円軌道：衛星、回転する砲台の射程、円形のアリーナの縁など、半径がずれると困る軌道。
• CAD データの取り込み：工業製品や建築データは NURBS 曲面で作られていることが多く、ゲームに取り込む際にテッセレーション（三角形化）します。
• エディタツール：直線・円弧・自由曲線を 1 つの表現で扱えるため、道路やレールの設計ツールの内部表現に使われます。
• 重みによる局所的な引き寄せ：特定の制御点だけ曲線を強く引き寄せたいとき、位置を動かさずに重みで調整できます。

しくみ

各制御点 $\mathbf{P}_i$ に重み $w_i$ を与え、重み付き平均を取ります。

分母があるので「有理（rational）」と呼びます。計算上は、点を同次座標 $(w_i x_i,\, w_i y_i,\, w_i z_i,\, w_i)$ に持ち上げて普通の B スプラインとして評価し、最後に $w$ で割るだけです。

円が正確に描ける理由は、円錐曲線（円・楕円・放物線・双曲線）が 2 次の有理式で表せるからです。4 分の 1 円は、角の制御点の重みを

にした 2 次の有理ベジェで表せます。デモの円は、この 4 分の 1 円を 4 つつないだ 9 点のクランプ NURBS です。

• $w > \frac{\sqrt{2}}{2}$：その制御点に引き寄せられ、角ばった形（双曲線寄り）になる
• $w = 1$：通常の B スプライン（放物線）
• $w < \frac{\sqrt{2}}{2}$：制御点の影響が弱まり、内側へしぼむ（楕円寄り）

実装のポイント

• three.js にもある：three/addons/curves/NURBSCurve.js と NURBSSurface.js で評価できます。
• ゲーム内ではテッセレーションして使う：実行時に NURBS を直接評価するより、読み込み時にポリラインやメッシュへ変換するのが一般的です。
• 重みは正の値に：0 や負の重みは分母が 0 になる箇所を生み、曲線が無限遠に飛びます。

つまずきやすい点

• パラメータが等速にならない：正確な円でも、$u$ に対して角度は一定の速さで進みません（中央が速い）。等速で回したいなら弧長パラメータ化か、円なら角度を直接使います。
• 扱いが複雑：ノット列、次数、重みの 3 つを正しく管理する必要があります。単に滑らかな経路が欲しいだけなら、ベジェやカトマル・ロムで十分なことがほとんどです。
• 非一様ノットの意味：ノット間隔を変えると、区間ごとのパラメータの割り当てが変わり、形と速度分布の両方に影響します。

デモで試すこと

1. 初期値の $w \approx 0.707$ では、青い曲線と灰色の真円が完全に重なり、「真円からの最大ずれ」が 0.0000 になります。
2. スライダーで重みを 1.6 程度まで上げると、曲線が角の制御点（黄色）に引き寄せられ、四角に近づきます。赤い線は真円とのずれです。
3. 重みを 0.3 程度まで下げると、曲線は内側へしぼみます。最後に「w = √2/2 に戻す」を押してください。