ARAP変形

ひとことで

メッシュの一部をつかんで動かしたとき、各部分がなるべく「回転しただけ」に近い形を保つように、全体の頂点の位置を決める変形の方法です。単純に周りの頂点との位置関係を保とうとすると、腕を回したときに腕が伸びたりつぶれたりしますが、ARAP は各部分の回転を許すので、太さや形を保ったまま自然に曲がります。骨を入れなくても、柔らかい人形のように動かせます。

ゲームでの使いどころ

• 2D キャラクターのメッシュ変形：イラストを三角形の網に分け、手足の点をつかんで動かすだけでポーズを付ける（Spine や Live2D のような表現、パペットアニメーション）。
• エディタでの形の調整：モデルの一部を引っ張って、周りを自然に追従させる。
• 柔らかい物体：スライムやゼリーのように、ぶつかって変形しても元の形を保とうとする物体。物理版はシェイプマッチングと考え方が近い。
• リターゲット・補正：骨の入った変形の結果を、形を保つように整える。

しくみ

元の頂点の位置を $\mathbf{p}$、変形後を $\mathbf{p}'$ とし、各頂点 $i$ に回転 $R_i$ を持たせます。最小にするエネルギーは、

つまり「今の辺」が「元の辺を回したもの」にどれだけ近いかです。$w_{ij}$ は辺の重み（余接重み）です。これを 2 つの手順の交互のくり返しで解きます（Sorkine & Alexa 2007）。

1. 局所の一歩：今の位置を固定し、各頂点で最もよく合う回転 $R_i$ を求めます。2 次元では、$S = \sum_j w_{ij}\, \mathbf{e}_{ij} \mathbf{e}'^\top_{ij}$ から角度 $\theta = \operatorname{atan2}(S_{01} - S_{10},\ S_{00} + S_{11})$ で一発で求まります（3 次元では特異値分解）。
2. 全体の一歩：回転を固定すると、エネルギーは位置の 2 次式になるので、連立一次方程式 $L\,\mathbf{p}' = \mathbf{b}$ を解きます。

つかんだ点の位置は固定値として右辺に移します。$L$ は変わらないので、前もって分解（コレスキー分解）しておけば、毎回の解き直しは速くなります。

実装のポイント

• 前のフレームの結果から始める：毎フレーム、前の結果を初期値にして数回くり返すだけで、ドラッグに滑らかについてきます。
• 余接重み：均一な重みだと、三角形の大きさや形のばらつきが変形のゆがみとして出ます。辺の向かいの角から決める余接重みを使います（負になる場合は小さな正の値に切り上げます）。
• 固定点の選び方：足などを固定し、手や頭をつかむ点にします。1 点だけを固定すると、周りが引っ張られてとがるので、小さな範囲の頂点をまとめて固定します。
• 分解の使い回し：つかむ点の組み合わせが変わらない間は、$L$ の分解を使い回せます。点を追加・削除したときだけ分解し直します。

つまずきやすい点

• くり返しが足りない：局所と全体の一歩を交互に行う方法は、少しずつ正解に近づきます。回数が少ないと、伸び縮みが残ります。
• 大きく動かすと反転する：つかんだ点を極端に動かすと、三角形が裏返ることがあります。
• メッシュの細かさ：三角形が粗すぎると、曲がる所がかくかくします。曲げたい所（関節のあたり）は細かくしておきます。

デモで試すこと

1. 両手と頭が自動で動き、人形の腕が太さを保ったまま曲がります。黄色い点をドラッグすると、自分で動かせます（自動の動きは止まります）。
2. 「変形の方法」を「回転を考えない」にすると、同じ動きでも腕が細く引き伸ばされ、赤（伸び）や青（縮み）の三角形が増えます。
3. 「伸び縮みを色で表示」で、ARAP ではほとんど色が付かないことを確かめてください。色が付くのは、どうしても伸び縮みが必要な所だけです。
4. 「1 フレームのくり返し」を 1 にすると、ドラッグに対する追従が遅れ、伸び縮みが残りやすくなります。