デュアルクォータニオンスキニング

ひとことで

キャラクターの皮膚（頂点）を骨に合わせて動かすスキニングで、複数の骨の動きを「回転と平行移動をまとめた量（デュアルクォータニオン）」のまま混ぜる方法です。一般的な線形ブレンドスキニング（LBS）は、骨の変換行列を重みで平均するため、関節を大きくねじったり曲げたりすると、関節がつぶれて細くなります（キャンディの包み紙現象）。DQS は、混ぜた結果が常に剛体の変換になるので、ねじっても太さが保たれます。

ゲームでの使いどころ

肩・手首・前腕のねじれ：腕を大きくひねったとき、手首の周りが細くつぶれるのを防ぐ。
肩や股関節の大きな回転：体積が減って見える関節を自然にする。
エンジンの選択肢：Unity・Unreal・Maya などに DQS の選択肢がある。GPU の頂点シェーダーでの計算量は LBS とあまり変わらない。
LBS との使い分け：DQS は曲げたときに関節の外側がふくらむ傾向があるので、骨ごとに LBS と DQS を混ぜる、ねじり用の補助骨を入れる、などと組み合わせる。

しくみ

線形ブレンド（LBS）では、骨 $k$ の変換（行列） $M_k$ と重み $w_k$ で、

\mathbf{v}' = \sum_k w_k\, M_k \mathbf{v}

とします。2 本の骨が同じ軸で 180° ずれてねじれていると、関節の途中の頂点は「一方で動かした位置」と「円柱の反対側へ動かした位置」の平均になり、中心へ寄ってつぶれます。行列の平均は、もう回転行列ではない（縮小を含む）からです。

デュアルクォータニオン $\hat{q} = q_r + \varepsilon\, q_d$ は、回転 $q_r$ （単位クォータニオン）と平行移動 $\mathbf{t}$ を

q_d = \tfrac{1}{2}\, \mathbf{t}\, q_r

でまとめたものです（ $\varepsilon^2 = 0$ ）。DQS では、

\hat{b} = \sum_k w_k \hat{q}_k, \qquad \hat{q} = \frac{\hat{b}}{\|b_r\|}

と重みで足してから正規化し、1 つの剛体変換として頂点に当てます。平行移動は $\mathbf{t} = 2\, q_d\, q_r^{*}$ で取り出します。正規化した結果は必ず「回転 + 平行移動」なので、縮みが起きません。

実装のポイント

符号をそろえる：クォータニオン $q$ と $-q$ は同じ回転を表します。符号の違うものを足すと打ち消し合うので、最初の骨と内積が負なら符号を反転してから足します。
CPU では 1 回だけ変換：骨ごとのデュアルクォータニオンは、毎フレーム骨の行列から CPU で作り、シェーダーに渡します。
拡大縮小は扱えない：デュアルクォータニオンは回転と平行移動しか表せません。骨に拡大縮小があるなら、別に処理する必要があります。
法線も同じ変換で：法線は回転部分だけで回します。LBS のように逆転置行列を作る必要がありません。

つまずきやすい点

曲げたときのふくらみ：DQS は、関節を大きく曲げると外側がふくらむ（膝や肘が出っ張る）傾向があります。関節の種類によって LBS と使い分けます。
重みを混ぜる幅：重みが関節のごく近くで急に切り替わると、どちらの方法でも関節がかくっと折れます。適度な幅で混ぜます。
180° を超えるねじり：デュアルクォータニオンの補間は最短の回転を選ぶので、180° を超えるねじりは逆向きに解釈されます。極端なねじりには補助骨を入れます。

デモで試すこと

上の腕（LBS）は、ねじりが大きくなると関節がつぶれて細くなります。下の腕（DQS）は、同じねじりでも太さが保たれます。数値の「関節の細さ」を比べてください。
「自動で動かす」を切り、「ねじり」を 0 から 180 まで動かすと、LBS の関節が 180° 近くでほぼ点までつぶれることがわかります。
「曲げ」だけを大きくすると、LBS では関節の内側がつぶれ、DQS では外側が少しふくらみます。
「重みを混ぜる幅」を小さくすると、どちらも関節がかくっと折れ、大きくするとなだらかになります。

インタラクティブデモ