ゲルストナー波

ひとことで

水面の頂点を上下だけでなく前後にも円を描くように動かして、波頭の尖った海の波を作る方法です。正弦波で上下に揺らすだけだと山も谷も同じ丸い形になりますが、ゲルストナー波では水の粒が山で前へ寄り集まり、谷で離れるので、本物の海のように山は鋭く、谷は平らになります。

ゲームでの使いどころ

• 海や湖の水面：船が進む海原、港、ビーチ。頂点変位だけで作れるので、多くのゲームで海の基本形として使われます。
• CPU と GPU で同じ波を計算できる：波の式が単純なので、描画用の頂点シェーダーと、船を浮かべる浮力の計算で同じ高さを求められます。見た目と物理がずれません。
• 波頭の泡：水面がどれだけ縮んだか（ヤコビアン）も式から求まるので、尖った波頭だけを白く泡立たせられます（ホワイトウォーター）。
• 遠景とのつなぎ：近くはゲルストナー波、遠くは法線マップだけ、という使い分けがよく行われます。

しくみ

水面上の元の位置 $\mathbf{x}_0 = (x, z)$ にある点を、次の位置へ動かします。

• $A_i$ は振幅、$\mathbf{d}_i$ は進む向き、$k_i = 2\pi / \lambda_i$ は波数（波長 $\lambda_i$ の逆数）、$\varphi_i$ はばらばらの初期位相です。
• $\omega_i = \sqrt{g k_i}$（深い海の分散関係）とすると、長い波ほど速く進むという本物の海の性質が再現されます。
• 水平方向の項 $Q_i A_i \mathbf{d}_i \cos\theta_i$ があるので、各点は縦の円（$Q=1$ で真円）を描きます。山（$\sin\theta = 1$）では $\cos\theta = 0$ 付近で点が前へ寄り、尖ります。

波の向きや長さを少しずつ変えて 4〜12 本ほど重ねると、規則的すぎない海面になります。多くの場合、風向きの周りに向きを散らし、波長の短い波ほど振幅を小さくします。

尖り $Q$ の上限に注意します。$\sum_i Q_i k_i A_i > 1$ になると、隣の点を追い越して水面が裏返り、輪（ループ）ができてしまいます。そこで、各波の $Q_i$ を「全体の尖り ÷（$k_i A_i \times$ 波の本数）」とし、合計が 1 を超えないようにします。

実装のポイント

• 法線は解析的に：式を微分すれば法線が求まるので、周りの頂点から差分で計算する必要はありません。細かい波は頂点を増やさず、法線にだけ足す（または法線マップを重ねる）とコストを抑えられます。
• ある地点の水面の高さ：点は水平にも動くので、$(x, z)$ の真上の高さは式にそのまま代入しても求まりません。「代入 → ずれた分だけ戻す」を数回くり返して、元の位置を逆算します（浮力の計算で必要になります）。
• タイル状の繰り返しを隠す：本数が少ないと周期が目立ちます。互いに割り切れない波長を選び、遠くは霧や空気遠近法でぼかします。

つまずきやすい点

• 尖らせすぎて水面が裏返る：尖りを上げすぎると、波頭で三角形が裏返ってちらつきます。上に書いた $Q$ の正規化を入れます。
• 頂点が足りない：波長より頂点の間隔が粗いと、波がカクカクに折れて見えます。カメラの近くほど細かい格子（LOD）にします。
• 法線を変位前の位置で使う：シェーダーで法線を計算し忘れると、形は波打っているのに陰影が平らなままになります。

デモで試すこと

1. 「波の動かし方」を「正弦波（上下だけ）」に切り替えると、山も谷も同じ丸い形になります。「ゲルストナー波（円運動）」に戻すと、山が尖り谷が広がります。
2. 光る点の列は、最初は一直線に並んだ水の粒です。波が通るたびに縦の円を描いて元に戻る様子と、山の所で点が詰まる様子を見てください。
3. 「尖り具合 Q」を 0 にすると正弦波と同じになり、1 に近づけるほど波頭が鋭くなります。
4. 「重ねる波の数」を 1 にすると、規則正しい 1 本の波になります。本数を増やすほど自然な海に近づきます。