FFT海洋

ひとことで

風の強さと向きから「どの長さ・向きの波がどれだけあるか」（波のスペクトル）を決め、何千〜何万もの波を高速フーリエ変換（FFT）で一度に足し合わせて海面を作る方法です。映画『タイタニック』の海で使われた Tessendorf の手法として知られ、今では多くのゲームの海の標準的な作り方になっています。

ゲームでの使いどころ

• 広く自然な外洋：船や海戦のゲーム、オープンワールドの海。数本の波を重ねるゲルストナー波では出せない、細かく不規則な波が得られます。
• 天候による変化：風速のパラメータを変えるだけで、凪からしけまで海の表情が変わります。
• タイルとして敷き詰める：FFT で作った海面は端と端がつながる（周期的）ので、同じタイルを並べて無限の海にできます。大きさの違うタイルを数枚重ねると繰り返しが目立ちません。
• 泡や法線も同時に：高さと一緒に、水平方向のずれ・法線・波頭の縮み具合（泡の量）も FFT で求められます。

しくみ

1. スペクトルを作る：波数ベクトル $\mathbf{k}$（波の向きと細かさ）ごとに、その波の強さを Phillips スペクトルなどで決めます。

$V$ は風速、$\hat{\mathbf{w}}$ は風向きです。$L$ は「この風で育つ一番大きなうねり」の長さで、風が強いほど長い波が強くなります。$|\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{w}}|^2$ で、風と同じ向きの波ほど強くします。

2. 初期の振幅にばらつきを与える：各 $\mathbf{k}$ について、ガウス乱数 $\xi_r, \xi_i$ を使って $\tilde{h}_0(\mathbf{k}) = \frac{1}{\sqrt 2}(\xi_r + i\,\xi_i)\sqrt{P(\mathbf{k})}$ とします。これは最初に 1 回だけ計算します。

3. 時間とともに位相を回す：深い海の波は $\omega = \sqrt{g k}$ の速さで進むので、毎フレーム

とします。2 項目は、結果の高さが実数になるようにするための対の成分です。

4. 逆 FFT で高さに戻す：$\tilde{h}(\mathbf{k}, t)$ の格子（例：$256^2$）を逆 FFT すると、海面の高さの格子が得られます。$N^2$ 個の波を普通に足すと $O(N^4)$ かかりますが、FFT なら $O(N^2 \log N)$ で済みます。

5. 波頭を尖らせる：$-i\,\frac{\mathbf{k}}{k}\tilde{h}$ も逆 FFT すると、各点の水平方向のずれが得られます。これを足すと、ゲルストナー波と同じように山が尖ります（「チョッピー波」）。

実装のポイント

• GPU で計算する：実際のゲームではコンピュートシェーダーで FFT を行い、バタフライ演算の各段をピンポンバッファで往復させます。$256^2$ でも 1 ms 程度で済みます。
• 格子の符号に注意：逆 FFT の結果は、1 マスおきに符号が反転した形で出てくることがあります（原点を中央に置いたスペクトルの場合）。$(-1)^{x+z}$ を掛けて戻します。
• 複数の大きさのタイルを重ねる：例えば 250 m、37 m、5 m の 3 種類を足すと、うねりから小さなさざ波までそろい、繰り返しの周期も目立たなくなります。

つまずきやすい点

• 格子より短い波の扱い：スペクトルは格子の細かさまでしか表現できません。さらに短い波は、法線マップや細かいタイルで補います。
• チョッピー波の上げすぎ：横方向のずれを大きくしすぎると、水面が裏返ります。縮み具合（ヤコビアン）が負になる所を泡として白くし、係数を抑えます。
• 風速の単位：$L = V^2/g$ は風速 20 m/s で約 40 m になり、タイルの大きさを超える波は表現できません。タイルの大きさと風速の範囲を合わせます。

デモで試すこと

1. 右下のスペクトル画像は、中心が長い波、外側が短い波の強さです。「風速」を上げると、中心付近（長いうねり）が強くなり、海面の起伏が大きくなります。
2. 「風向き」を変えると、スペクトルの明るい方向が回り、波が進む向きがそろって変わります。
3. 「波頭の尖り」を 0 にすると、丸い波になります。上げるほど山が細く鋭くなります。
4. 「タイルの継ぎ目を表示」をオンにすると、同じ 32 m 四方のタイルを並べていることが分かります。継ぎ目で波がとぎれずにつながっているのが FFT 海洋の特徴です。