指数減衰

ひとことで

現在の値を目標へ「残りの距離の一定割合ずつ」近づける追従を、経過時間 $\Delta t$ から係数を計算することでフレームレートに依存しない形にしたものです。追従カメラ、照準、UI の値の変化など、「滑らかに追いかける」処理の最も基本的な道具です。

ゲームでの使いどころ

• 追従カメラ：プレイヤーの位置をカメラがわずかに遅れて追う。
• 照準・ロックオン：レティクルが敵へ吸い付くように移動する。
• 数値の表示：HP バーの減少、スコアのカウントアップ、音量のフェード。
• 入力の平滑化：スティックの入力やマウス移動を滑らかにしてブレを抑える。

しくみ

よく見る書き方は次のようなものです。

これは「1 フレームで残りの距離が 0.9 倍になる」という意味です。60fps なら 1 秒で $0.9^{60} \approx 0.002$ 倍、30fps なら $0.9^{30} \approx 0.04$ 倍になり、フレームレートによって追従の速さが変わってしまいます。高リフレッシュレートのモニターでだけカメラが速い、というバグの典型的な原因です。

時間に対して正しく減衰させるには、「1 秒あたりの減衰率」を決め、経過時間に応じて累乗します。連続時間で書くと

なので、lerp の係数を次のようにすればよいのです。

$T_{1/2}$ は半減期（残りの距離が半分になるまでの時間）です。「0.25 秒で半分」のように、フレームレートと無関係な直感的な単位で調整できます。

実装のポイント

• エンジンの関数：Unity の Vector3.SmoothDamp や Unreal の FMath::FInterpTo は同じ目的の関数です（SmoothDamp は速度も持つ臨界減衰ばね）。
• 回転：四元数の場合は slerp(current, target, k) に同じ係数を渡します。
• 角度のラップ：角度をそのまま減衰させると 359° → 1° で逆回りします。差を $[-180°, 180°)$ に正規化してから計算します。

つまずきやすい点

• いつまでも到達しない：指数減衰は理論上目標に一致しません。一定の距離より近づいたら目標値に丸めるか、完了判定に閾値を使います。
• 動く目標には遅れが残る：一定速度で動く目標に対しては、$v / \lambda$ の距離だけ常に遅れます。遅れを減らしたいなら先読み追従やばねを使います。
• 速度が不連続：目標が急に変わると、追従側の速度も瞬時に最大になります。動き出しを滑らかにしたいなら、速度を状態として持つ臨界減衰ばねが向きます。

デモで試すこと

1. 赤（20fps）とピンク（120fps）の球は同じ lerp(x, 目標, 定数) ですが、ピンクのほうが明らかに速く追いつきます。左下の「残り距離」を比べてください。
2. 水色と青の球は指数減衰です。20fps と 120fps で更新しているのに、ぴったり重なって見えます（差は 0.000 m 付近）。
3. 「半減期」を変えると、フレームレートに関係なく追従のきびきび感だけが変わります。床をクリックして目標を置き、確かめてみてください。