ばね・ダンパー

ひとことで

目標からのずれに比例して引き戻すばねと、速度に比例してブレーキをかけるダンパー（減衰器）を組み合わせた運動モデルです。行き過ぎて揺り戻す「弾み」や、ぷるんと揺れて収まる動きを、たった 2 つのパラメータで作れます。

質量 $m$ の物体の、目標位置からのずれを $x$ 、速度を $v$ とすると、ばね定数 $k$ 、減衰係数 $c$ の力は

F = -k\,x - c\,v, \qquad m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x - c\,\frac{dx}{dt}

となります。この運動の性格は、減衰比 $\zeta$ で決まります。

\zeta = \frac{c}{2\sqrt{k\,m}}, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

$\omega_0$ （固有角振動数）は揺れの速さを、 $\zeta$ は揺れの収まり方を決めます。 $k$ と $c$ を直接いじるより、 $\omega_0$ （または周波数）と $\zeta$ で調整するほうが、アーティストにとって直感的です。

サブステップ： $k$ が大きい（硬いばね）と、1 フレームの $\Delta t$ では数値的に発散します。デモのように 1 フレームを数回に分けて積分するか、解析解を使う方法（Daniel Holden の "Spring-It-On" など）を検討します。
親の動きを入力にする：揺れものは「親が動いた分だけ、ばねの先端が相対的に取り残される」と考えます。デモでも台座の移動量をずれに加えています。
軸ごとに独立：x, y, z を独立なばねとして扱っても、多くの場合は十分自然です。

陽的オイラー法で発散する：位置を先に更新する素朴な積分では、減衰なしでも振幅が増えていきます。半陰的オイラー法を使います。
フレームレート依存：可変の $\Delta t$ で積分すると、フレームが落ちたときに挙動が変わります。固定の小さなステップで回すのが安全です。
揺れすぎ： $\zeta$ が小さすぎる揺れものは、いつまでも揺れ続けて落ち着きのない画面になります。0.3〜0.6 程度から調整を始めると扱いやすいです。