座標変形

ひとことで

形そのものは変えずに、形を評価する座標のほうを変形させることで、ねじる・曲げる・揺らすといった変形を加える手法です。距離場で表した形なら、「この点は元の形のどこに当たるか」という写像を 1 つ挟むだけで、頂点を 1 つも持たずに形を自由に変形できます。

d(\mathbf{p}) = f_{\text{元の形}}\big(\,T(\mathbf{p})\,\big)

変形 $T$ は「変形後の空間の点 $\mathbf{p}$ を、変形前の形のローカル座標に戻す」写像です。

ねじり（Twist）：高さ $y$ に比例した角度だけ、 $xz$ 平面で点を回します。

\theta = k\,y,\qquad T(\mathbf{p}) = \big(\cos\theta\,x - \sin\theta\,z,\ \ y,\ \ \sin\theta\,x + \cos\theta\,z\big)

曲げ（Bend）：横位置 $x$ に比例した角度で $xy$ 平面を回すと、まっすぐな板が弓なりになります。

揺れ（Wobble）：時間と高さに応じた正弦波で座標をずらすと、形が震えて見えます。

表面の模様も変形後の座標 $T(\mathbf{p})$ で描けば、模様ごと空間が歪むので、変形の様子がよく分かります（デモの格子模様）。

歩幅を縮める：変形は空間を引き伸ばしたり縮めたりするので、結果の値は正確な距離ではなくなります。変形の「引き伸ばし率の上限」（リプシッツ定数） $L$ が分かれば、距離を $L$ で割る（歩幅に $1/L$ を掛ける）ことで安全にスフィアトレーシングできます。ねじりなら、半径 $r$ の位置での引き伸ばし率は $\sqrt{1 + (k r)^2}$ です。
回転・平行移動は安全：剛体変換（回転と平行移動）は距離を変えないので、補正は不要です。一様な拡大縮小 $s$ は、座標を $s$ で割って評価し、結果に $s$ を掛けます。
メッシュの頂点変位との違い：頂点変位は頂点を動かすので、頂点の細かさで変形の滑らかさが決まります。座標変形は画素ごとに評価されるので、どれだけ強く曲げても角ばりません。

踏み越えによる穴やちぎれ：強く変形すると距離が過大になり、光線が表面を突き抜けて穴やちぎれが出ます。デモで「歩幅を縮めて安全に進む」をオフにし、強さを上げると確認できます。
影や遮蔽も同じ距離場を使う：影の計算でも距離を使うので、変形が強いと影に筋やむらが出ることがあります。
法線の差分幅：強く変形した部分では、法線を求める差分の幅を小さめにしないと、細部の陰影がぼやけます。