空間反復

ひとことで

距離場を評価する前に、座標を一定の間隔で折り返すことで、1 つの形を無限に並べる手法です。柱を 1 本定義するだけで地平線まで続く列柱になり、ビルを 1 棟定義するだけで街並みになります。形の数をいくら増やしても、1 点あたりの計算量はほとんど変わりません。角度で折り返せば、歯車の歯や花びらのように円周上にも並べられます。

ゲームでの使いどころ

• 背景の大量の反復物：列柱、並木、柵、線路の枕木、街灯、SF 通路の肋骨状の構造。
• プロシージャルな街・森：セル番号から高さや種類を変えて、変化のある街並みや森を作る。
• 円周上の反復：歯車、タービン、花、魔法陣の装飾、回転するリング。
• トンネル・無限回廊：奥へ無限に続く通路の演出（デモシーンの定番）。

しくみ

1 方向の反復：間隔 $s$ で $x$ を折り返し、どの点も「原点の近くの 1 セル」に写してから形を評価します。

$c$ はその点が属するセルの番号です。これをハッシュ関数に通すと、セルごとに高さ・太さ・色を変えられます。

2 方向（格子）の反復：$x$ と $z$ の両方を同じように折り返します。

極座標の反復：角度 $\theta$ をセクターの幅 $2\pi/n$ で折り返し、1 本の歯（1 枚の花びら）だけを定義します。

極座標変換と同じ考え方で、模様ではなく立体を円周に並べています。

実装のポイント

• abs による鏡像：abs(p.z) は反復の特別な場合で、形を左右対称に 2 つ並べます。
• 有限個の反復：セル番号を clamp(round(x/s), -n, n) のように制限すると、決まった数だけ並べられます。
• 色・材質もセル番号から：同じ形でも、セル番号から色や劣化具合を決めれば単調になりません。

つまずきやすい点

• 隣のセルの形を見落とす：折り返しは「自分のセルの形しか見ない」ので、形がセルからはみ出したり、セルごとに大きさが違ったりすると、隣のセルの形のほうが近いのに気づけません。距離が過大になり、光線が形に突き刺さって破片のような誤りが出ます。デモの「隣のセルも調べる」をオフにすると確認できます。周囲のセル（3×3 など）も評価して最小値を取るのが対策です。
• セル境界で形が切れる：形がセルの半分より大きいと、境界で切れて見えます。形をセルに収めるか、隣のセルも調べます。
• 遠方のエイリアシング：無限に並べた細かい形は、遠くで画素より小さくなり、ちらつきやモアレが出ます。距離に応じてぼかしたり、霧で隠したりします。

デモで試すこと

1. 「1 方向（列柱）」では、柱を 1 本定義しただけで地平線まで並んでいます。オレンジの柱が、式で定義した元の 1 本（セル番号 0）です。
2. 「2 方向（ビル街）」で「隣のセルも調べる」をオフにすると、黒い破片のような誤りが出ます。オンに戻すと消えます。
3. 「セルごとに変化を付ける」をオフにすると、すべて同じ形になり、反復していることがはっきり分かります。
4. 「極座標（歯車）」では、スライダーで歯の数を変えても、定義しているのは歯 1 本だけです。