Sweep / Extrusion

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ひとことで

円や星形などの断面の形を、曲線に沿って運びながら並べ、隣り合う断面どうしを面でつないで立体を作る方法です。まっすぐ押し出せば柱に、曲線に沿って運べば配管やホースに、先へ行くほど小さくすれば触手や角になります。大事なのは、各点で断面をどちらに向けるか（フレーム）の決め方です。

ゲームでの使いどころ

• 配管・ケーブル・ロープ：レベルの中を這う配管やケーブルを、制御点を置くだけで作る。
• 道路・線路・川：道路の断面（路面と縁石）をスプラインに沿って運び、起伏のある道を作る。線路の枕木は、曲線に沿って一定間隔に並べる。
• 触手・つる・しっぽ：うねる曲線に先細りの断面を運び、動きに合わせて毎フレーム作り直す。
• 剣の軌跡・リボン：断面を線分（幅だけ）にすると、剣を振った跡やリボン状の軌跡になる。

しくみ

曲線を $\mathbf{C}(t)$、断面の点を $(x, y)$ とします。各点で、接線 $\mathbf{T}$ と、それに直交する 2 つの向き（法線 $\mathbf{N}$ と従法線 $\mathbf{B}$）からなる枠（フレーム）を決め、

の位置に断面の点を置きます。$s(t)$ は太さ（先細り）です。問題は $\mathbf{N}$ の決め方です。

• フレネ標構：曲線の曲がる向き（接線の変化 $\mathbf{T}'$）を $\mathbf{N}$ にします。数学的にはきれいですが、まっすぐな所では向きが決まらず、曲がる向きが左右で入れ替わる所では $\mathbf{N}$ が急に反転し、断面がくるっとねじれます。
• 回転最小化フレーム（RMF）：最初の枠を決めたら、次の点へはなるべく回さずに運びます。二重反射法（Wang ほか 2008）では、区間の両端を 2 回の鏡映で結ぶだけで、軸の周りのねじれがほとんどない枠が安く求まります。

実装のポイント

• 弧長で並べる：断面を曲線のパラメータ $t$ で等間隔に置くと、曲線の場所によって間隔がばらつきます。弧長パラメータ化で距離が等しくなるように並べます。
• 閉じた曲線のねじれ：輪になった曲線を RMF で一周すると、最後の枠が最初とずれることがあります。ずれの角度を全体に少しずつ割り振って打ち消します。
• UV 座標：曲線方向の $u$ は弧長、断面方向の $v$ は断面の周長にすると、テクスチャが伸びずに貼れます。道路では $u$ を繰り返して路面の模様を並べます。
• ねじりの演出：RMF で安定させたうえで、わざとねじり角を足すと、ドリルやねじれたロープのような形になります。

つまずきやすい点

• 急なカーブでの自己交差：曲線の曲がり半径が断面の半径より小さいと、内側で面が交差して裏返ります。曲線をなだらかにするか、太さを抑えます。
• フレームの反転：フレネ標構を使うと、S 字の曲線で断面がひっくり返ります。ほとんどの場合、RMF を使うのが正解です。
• 分割数と負荷：毎フレーム作り直す触手などでは、分割数が多すぎると重くなります。GPU で頂点を動かす（断面の位置をシェーダーで計算する）方法もあります。

デモで試すこと

1. 「うねる触手」で、星形の断面が先細りしながら曲線に沿って運ばれます。緑と赤の短い線が各点の断面の向きです。
2. 「断面の向きの決め方」をフレネ標構にすると、曲がる向きが変わる所で緑の線が急に向きを変え、星形の角の並びがねじれます。回転最小化フレームに戻すと、ねじれが消えます。
3. 「配管」「道路」に切り替えると、断面と曲線を変えるだけで、まったく違う物が作れることがわかります。
4. 「ねじり」を動かすと、わざとねじった形（ドリルやロープ）になります。