Signed Distance Field / SDF

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ひとことで

空間のあらゆる点に「いちばん近い表面までの距離」を割り当て、形の内側では符号を負にした関数（または、その値を並べたデータ）です。値が 0 になる場所がちょうど形の表面になります。ポリゴンのように面を並べて形を表すのではなく、「どこでも距離を答えられる関数」として形を表すのが特徴です。

f(\mathbf{p}) = \begin{cases} -\,\text{表面までの距離} & \mathbf{p}\ \text{が内側}\\ \phantom{-}\,0 & \mathbf{p}\ \text{が表面上}\\ +\,\text{表面までの距離} & \mathbf{p}\ \text{が外側} \end{cases}

形そのものを描く：レイマーチングで SDF を直接描く（デモシーン、『Dreams』や『Claybook』のような粘土・造形ゲーム）。
ソフトシャドウとアンビエントオクルージョン：Unreal Engine の Mesh Distance Fields は、メッシュから焼いた SDF で遠くまで柔らかい影や遮蔽を計算します。
当たり判定・パーティクルの衝突：「その点は内側か」「表面まであと何 m か」「どちら向きに押し出せばよいか」が 1 回の評価で分かるので、大量の粒子を複雑な地形に当てるのに便利です（GPU パーティクルの衝突など）。
文字や UI：文字の形を SDF で持つと、拡大してもぼやけず、縁取りや光彩も安く描けます（MSDF）。
地形の編集：ボクセル地形で掘る・盛るといった編集を、距離の値の足し引きで表します。

基本形の SDF は短い式で書けます。球なら中心からの距離から半径を引くだけです。

f_{\text{球}}(\mathbf{p}) = \lVert \mathbf{p} - \mathbf{c} \rVert - r

箱は、各軸で表面からどれだけはみ出しているかを使って、外側では角までの距離、内側では最も近い面までの距離（負）を返します。

\mathbf{q} = |\mathbf{p}| - \mathbf{b},\qquad f_{\text{箱}}(\mathbf{p}) = \lVert \max(\mathbf{q}, 0) \rVert + \min\big(\max(q_x, q_y, q_z),\, 0\big)

SDF の最も大切な性質は、値 $d$ を半径とする球の中には表面が 1 つもないことです。この保証があるので、

といった便利な操作が成り立ちます。また、距離 $d$ から一定値 $r$ を引く（ $f - r$ ）だけで、形を $r$ だけ太らせて角を丸められます。

関数で持つか、テクスチャで持つか：少数の基本形なら式で評価し、任意のメッシュは 3D テクスチャに距離を焼き込みます（ボリュームテクスチャの各ボクセルに距離を保存）。焼き込んだ SDF は解像度の分だけ細部が失われます。
移動・回転は逆変換で：形を動かすときは、形ではなく評価する点 $\mathbf{p}$ のほうを逆向きに動かします。回転や平行移動は距離を変えないので、SDF の性質が保たれます。拡大縮小は、座標を $s$ で割ってから評価し、結果に $s$ を掛け戻します。
符号の規約：内側を負にするのが一般的ですが、ツールやエンジンによっては逆のこともあります。テクスチャに保存するときは、0.5 を表面として 0〜1 に写すことが多いです。

「距離らしい値」と本当の距離は違う：形を組み合わせたり変形したりすると、値が正確な距離でなくなることがあります。符号（内外）は正しくても距離が過大になると、スフィアトレーシングで表面を突き抜けます。距離が実際より小さめ（保守的）なら安全ですが、処理は遅くなります。
外側の最小値は正確でも、内側は正確とは限らない：複数の形の最小値は、外側では正確な距離ですが、形が重なった内側では正確ではありません。
焼き込み SDF の解像度：細い部品（ワイヤーや薄い板）は、ボクセルより細いと消えてしまいます。

「断面の高さ」を上下させると、形を水平に切った断面で、内側（青）と外側（オレンジ）の距離の縞が変わります。白い線が距離 0、つまり形の輪郭です。
緑の探査点をドラッグしてください。表示される半透明の球（半径 = 距離）は、必ずどれかの形にちょうど接し、中には何も入りません。この性質が SDF のすべての応用の土台です。
等距離線は、形から離れるほど角が取れて丸くなります。箱の角の外側では、距離は角の 1 点までの距離になるためです。