SDF Gradient / Normal Estimation

This explanation is currently available in Japanese.

ひとことで

距離場の値が最も速く増える向き（勾配）は、その点から最寄りの表面へ向かう向きの逆、つまり表面の外向き法線です。レイマーチングで当たった点の法線は、近くの数点で距離を測り、その差から勾配を求めて得ます。ポリゴンのように頂点に法線を持たせる必要はありません。

\mathbf{n} = \frac{\nabla f}{\lVert \nabla f \rVert},\qquad \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right)

距離場で描く形のライティング：レイマーチングで描いたあらゆる形の陰影、反射、リムライト。
押し出し方向の計算：粒子やキャラクターが距離場の内側にめり込んだとき、勾配の向きに距離の分だけ押し戻せば表面の外に出られます。GPU パーティクルの衝突応答の定番です。
表面に沿った移動：勾配に垂直な方向へ動かすと、表面に沿って滑らせたり、壁を這わせたりできます。
最寄りの表面点： $\mathbf{p} - f(\mathbf{p})\,\mathbf{n}$ で、最寄りの表面上の点が求まります（SDF のデモの探査点）。

偏微分を差分で近似します。代表的な方法は 3 つです。

方法	距離の評価回数	特徴
前進差分	4 回	$f(\mathbf{p} + \varepsilon\mathbf{e}_i) - f(\mathbf{p})$ 。安いが、誤差が大きく少しずれる
中心差分	6 回	$f(\mathbf{p} + \varepsilon\mathbf{e}_i) - f(\mathbf{p} - \varepsilon\mathbf{e}_i)$ 。精度がよい
四面体	4 回	正四面体の 4 頂点方向で評価して合成する。中心差分に近い精度で 4 回

四面体の方法（Inigo Quilez が紹介したもの）は、 $\mathbf{k}_0 = (1,-1,-1)$ などの 4 方向で

\nabla f \approx \sum_{i=0}^{3} \mathbf{k}_i\, f(\mathbf{p} + \varepsilon\,\mathbf{k}_i)

とします。4 回で済み、偏りも少ないので、レイマーチングでよく使われます。

差分の幅 $\varepsilon$ の選び方が重要です。

小さすぎる：距離の差が浮動小数点の誤差に埋もれ、法線がばらついて表面がざらつきます。
大きすぎる：広い範囲の平均的な傾きになり、細かい凹凸の陰影が消えます。逆にこれを利用して、あえて大きな $\varepsilon$ で「ぼかした法線」を作ることもあります。
画面上の 1 画素に相当する大きさ（遠くの点ほど大きく）にすると、ちらつきと細部のバランスが取れます。

解析的な勾配：球や箱、ノイズなど、式が分かっている形は微分も式で書けます。差分より正確で、評価回数も減らせます。
コンパイラによる展開：map が大きい関数だと、4 回の呼び出しがインライン展開されてシェーダーが巨大になり、コンパイルが極端に遅くなることがあります。ループで 4 回呼ぶ書き方にすると抑えられます。
押し戻しに使うとき：勾配の長さは本来 1 ですが、合成や変形をした距離場では 1 からずれます。正規化してから使います。

勾配が 0 になる場所：形の中心や、2 つの形からちょうど等距離の場所（中央軸）では、勾配が定まらない（0 や不連続になる）ことがあります。押し戻しに使うときは、長さが極端に小さい場合を別扱いにします。
ノイズで凹凸を付けた形：細かいノイズを足した形は、 $\varepsilon$ の選び方で見た目が大きく変わります。デモで試してください。
法線マップとの関係：メッシュの法線マップは法線を画像に保存しておく方法、勾配法線はその場で計算する方法です。