Runge–Kutta / RK2 / RK4

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ひとことで

1 ステップ進む間に、途中の何か所かで「進むべき向き」を調べ、それを平均して進むことで、大きな時間刻みでも正確に軌道を追う方法です。今いる場所の向きだけでまっすぐ進むオイラー法は、曲がった道では必ず外へはみ出しますが、4 次のルンゲ・クッタ法（RK4）は 4 回調べるだけで誤差を劇的に小さくできます。

ゲームでの使いどころ

• 流れに乗る粒子：カールノイズやフローフィールドの中で煙や葉を流すとき、オイラー法では渦の中心から粒子が外へ逃げていきます。RK2 や RK4 なら渦の形に沿って回ります。
• 軌道の予測線：宇宙船の軌道、砲弾の弾道、ゴルフボールの落下点の予測など、何秒も先まで一気に計算したい場面で、少ないステップ数で正確な線を引けます。
• 流線の描画：ベクトル場の流線（線積分畳み込みなど）や、磁力線のような可視化。
• カメラや乗り物の経路：速度場から位置を求める計算全般。

しくみ

$\dfrac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$（場所ごとに進む向きと速さが決まっている）を、時間刻み $h$ で解くとします。

オイラー法：今の場所の傾きで進む。誤差は $h$ に比例（1 次）。

RK2（中点法）：いったん半歩進んだ所の傾きを調べ、その傾きで 1 歩進む。誤差は $h^2$ に比例（2 次）。

RK4：始点、中点（2 回）、終点の 4 か所で傾きを調べ、中点を重く見て平均する。誤差は $h^4$ に比例（4 次）。

「4 次」とは、時間刻みを半分にすると誤差が $1/16$ になるという意味です。1 ステップの計算は 4 倍になりますが、同じ精度ならオイラー法よりずっと大きな刻みで済むので、多くの場合トータルで得をします。

速度と位置の両方を持つ運動（物体の運動方程式）では、状態を $(\mathbf{x}, \mathbf{v})$ の組にし、$\mathbf{f}$ を「位置の変化 = 速度、速度の変化 = 加速度」として同じ式で解きます。

実装のポイント

• GPU の粒子なら RK2 で十分なことが多い：シェーダーで場を 2 回サンプリングするだけで、渦の中心から逃げる問題はほぼ解消します。
• 途中で状態を書き換えない：$\mathbf{k}_2 \sim \mathbf{k}_4$ を求める途中の位置は「試しの位置」です。衝突判定や拘束は、1 ステップ終わってから行います。
• 剛体の物理エンジンには使わないことが多い：衝突や拘束があると、途中の評価点での力が意味を持たなくなり、4 次の精度が生かせません。ゲームの剛体は半陰的オイラー法が主流です。

つまずきやすい点

• RK4 でもエネルギーは保存しない：誤差は非常に小さいものの、何千周も回すとじわじわずれます（シンプレクティックではない）。長時間の軌道計算では、刻みを小さくするか、専用の方法を使います。
• 場が不連続だと効果がない：傾きが急に変わる場所（壁や格子のセルの境目）をまたぐと、高次の精度は失われます。
• コストの見積もり：「RK4 は重い」と思われがちですが、評価が軽い場なら、刻みを 4 倍にできれば同じコストです。精度と速度の両方で比べます。

デモで試すこと

1. 本当の道筋は白い点線の円です。赤（オイラー法）は 1 周ごとに外へずれ、黄（RK2）は少しずつ、青緑（RK4）はほとんどずれません。左下に半径のずれが出ます。
2. 「時間刻み h」を 0.8 まで上げると、オイラー法はすぐに飛び去り、RK2 もずれ始めますが、RK4 は円の上に残ります。0.05 まで下げると、3 つともほぼ重なります。
3. 「RK4 が傾きを調べる場所」の矢印は、最後の 1 ステップで調べた 4 か所の向きです。始点・中点 2 回・終点で少しずつ向きが違うのが分かります。
4. 「2 つの渦」に切り替えると、正解が円ではない複雑な道筋でも、RK4 が白い線に沿い続けることを確かめられます。