Thermal Erosion

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ひとことで

急すぎる斜面の土が崩れ落ち、崖の下にたまる様子をまねて、地形をなだらかにする方法です。各マスを周りと比べて、「これ以上急だと崩れる」という角度（安息角）を超えていたら、超えた分の土を低い隣へ移します。何度もくり返すと、崖の角が崩れ、ふもとには一定の傾きの土砂の斜面（崖錐）ができます。

地形の自動生成の仕上げ：ノイズや段差で作った地形は、尖りすぎたり、ありえない急斜面が残ったりします。熱・崩落侵食をかけると、自然な崖と斜面の組み合わせになります。
水食侵食とセットで：水食侵食が谷を刻み、熱・崩落侵食が崖を崩す、という 2 つを交互にかけるのが地形ツールの定番です。
砂や土の山：掘ったり積んだりできるゲームで、盛った土が円錐状に崩れて広がる、砂山が崩れる、といった表現に使えます（安息角を守る処理は「砂のシミュレーション」の基本です）。
歩ける地形にする：キャラクターが登れる傾きの上限に合わせて安息角を設定すると、歩ける斜面と崖の区別がはっきりします。

名前の「熱」は、昼夜の温度差で岩がひび割れて崩れる風化作用に由来しますが、計算の中身は単純です。

安息角を高さの差に直す：隣のマスまでの距離 $\ell$ に対して、崩れずにいられる高さの差は $T = \ell \tan\theta$ です（ $\theta$ が安息角。乾いた砂で約 30〜35°）。斜めの隣は距離が $\sqrt 2$ 倍なので、許される差も $\sqrt 2$ 倍にします。
超過分を調べる：各マスについて、8 近傍それぞれとの高さの差から $T$ を引いた「超過分」を求めます。正の超過がある隣だけが崩れる先です。
土を移す：一番大きな超過分の一部（例えば半分 × 係数）をそのマスから取り、超過分の大きさに比例して低い隣へ配ります。

\Delta h_{\text{移す}} = c \cdot \frac{\max_j d_j}{2}, \qquad \Delta h_j = \Delta h_{\text{移す}} \cdot \frac{d_j}{\sum_k d_k}

$d_j$ は隣 $j$ への超過分です。全部一度に動かさず半分程度にするのは、動かしすぎて逆向きに急になり、行ったり来たりするのを防ぐためです。

全マスの変化を足してから反映する：移動量を別の配列に集めておき、全マスを調べ終わってから高さに足します。調べながら書き換えると、計算順によって崩れ方が偏ります。

これをくり返すと、どの斜面も安息角以下になった所で変化が止まります。土の量は保存されるので、崖から崩れた分だけふもとが盛り上がります。

高さの単位に注意：高さマップの値が 0〜1 で、表示時に何倍かしている場合は、安息角から求めた $T$ も同じ倍率で割ってそろえます。
GPU で計算する：各マスは隣しか見ないので、セルオートマトンと同じ形で並列に計算できます。「出ていく量」と「入ってくる量」を 2 つのパスに分け、ピンポンバッファで読み書きを分けます。
岩と土を分ける：地層を「岩（崩れにくい、安息角が大きい）」と「土砂（崩れやすい）」の 2 層で持つと、岩の崖の下に土砂の斜面が付く、という実際の地形に近い形になります。

全体が平らになりすぎる：安息角を小さくしすぎると、山全体がなだらかな丘になってしまいます。岩の層を残す、回数を制限する、などで個性を残します。
格子の向きが出る：4 近傍だけで計算すると、崩れた斜面がひし形の模様になります。8 近傍を使い、斜めの距離を考慮します。
回数が多く必要：崖の高さが大きいほど、崩れ終わるまでの反復回数が増えます。係数を上げすぎると不安定になるので、GPU で回数を稼ぐか、低い解像度で崩してから細かくします。