Critical Damping

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ひとことで

ばね・ダンパーの減衰比を $\zeta = 1$ にした状態です。振動しない設定の中で最も速く目標に落ち着く、揺れと遅れのちょうど境界にあたります。照準やカメラのように「素早く、でも揺れずに」追従させたい場面の標準的な選択です。

ゲームでの使いどころ

• 照準・レティクル：ターゲットを切り替えたときに、行き過ぎずにすっと収まる。
• カメラの追従：Unity の SmoothDamp は臨界減衰ばねの近似で、多くのゲームのカメラに使われています。
• UI のアニメーション：割り込みが入っても速度が連続するので、目標が途中で変わっても不自然になりません。
• キャラクターの向き：振り向きを揺れなしで素早く完了させる。

しくみ

固有角振動数 $\omega$ のばねで、減衰比を 1 にすると $c = 2\omega$（$m = 1$）となり、初期のずれ $x_0$、初速 0 からの解は

になります。指数関数に 1 次式が掛かった形で、一度も 0 を横切らず（行き過ぎず）に減衰します。

• $\zeta < 1$：減衰が足りず、行き過ぎて振動する。最初の到達は速いが、収まるまでは長い。
• $\zeta > 1$：減衰が強すぎて、ゆっくりとしか戻らない。
• $\zeta = 1$：揺れない範囲で、最も速く 2% 以内に収まる。

右下のグラフは、この 3 つのステップ応答（目標が急に移ったときの進み具合）です。デモの数値では、不足減衰の方が最初は速く目標に届きますが、揺れが収まるまで（整定時間）は臨界減衰の約 2 倍かかっています。

「臨界減衰なら絶対に行き過ぎない」は初速が 0 の場合の話です。すでに目標から遠ざかる向き、あるいは目標を越える向きに速度を持っていれば、臨界減衰でも一度行き過ぎることがあります。

実装のポイント

• smoothTime の意味：おおよそ「目標に着くまでの時間」の目安です。$\omega = 2 / T$ と対応します。
• 解析解で積分する：上のように解析解（あるいはその近似）でステップを進めると、$\Delta t$ が大きくても安定します。
• 速度を状態として持つ：指数減衰と違い、速度を保持するため目標が動いても滑らかです。そのぶん「前フレームの速度」を保存する変数が必要です。

つまずきやすい点

• 動く目標には遅れる：臨界減衰は「止まっている目標に最速で収まる」設定です。動き続ける目標には一定の遅れが残るので、予測を加えるか、PD 制御のようにゲインを調整します。
• 揺れがほしいのに臨界減衰にしてしまう：UI に弾みを出したいなら、あえて $\zeta = 0.5$ 前後の不足減衰を選びます。
• ζ = 1 付近の数値誤差：解析解を場合分けする実装では、$\zeta$ がちょうど 1 の近くで式が不安定になります。少し幅を持たせて臨界減衰の式に切り替えます。

デモで試すこと

1. 3 つの照準の動きを見比べてください。赤（ζ = 0.35）は行き過ぎて円を描き、紫（ζ = 2.5）は遅れてじわじわ寄り、水色（ζ = 1）が最も早く標的に落ち着きます。
2. 左下の整定時間（誤差が 2% 以内に収まるまでの時間）を比べると、臨界減衰が最短であることが数字で分かります。
3. 「固有角振動数 ω」を上げると 3 つとも速くなりますが、揺れ方の性格（ζ）は変わりません。