PD / PID Controller

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ひとことで

目標値と現在値の誤差から、機械に与える操作量（力、トルク、スロットル）を決めるフィードバック制御です。誤差そのもの（P）、誤差の変化の速さ（D）、誤差の累積（I）の 3 つを重み付けして足します。ロボットやドローンの制御で最も広く使われている方式で、ゲームでも「物理で動くものを狙った値へ持っていく」ときの定番です。

ゲームでの使いどころ

• 物理ベースの乗り物：ホバークラフトの高さ維持、ドローンの姿勢制御、車の自動運転 AI のハンドル操作。
• 砲塔の旋回：目標角度へ向けてトルクをかけ、慣性があるのに行き過ぎずに止める。
• 物理キャラクター：アクティブラグドールで、各関節をアニメーションの姿勢へ引き寄せるモーター。
• カメラ：物理的な重さを感じさせるカメラの追従。

しくみ

誤差を $e(t) = r(t) - y(t)$（目標 − 現在）とすると、操作量 $u(t)$ は

PD 制御はばね・ダンパーそのものです。$K_p$ がばね定数、$K_d$ が減衰係数にあたります。

では、なぜ I が必要なのでしょうか。デモのドローンには常に重力がかかっています。PD だけだと、重力を打ち消す推力 $mg$ を P 項で作るしかないため、釣り合う位置では必ず

の定常偏差が残ります。I 項は誤差を積み上げていくので、やがて I 項だけで $mg$ を肩代わりし、誤差を 0 にできます。

実装のポイント

• 積分の上限（アンチワインドアップ）：出力が上限に張り付いている間も積分が増え続けると、目標に着いた後に大きく行き過ぎます。積分値に上限を設けるか、出力が飽和している間は積分を止めます。
• 微分は測定値から取る：目標値が急に変わると誤差の微分が一瞬巨大になり、操作量が跳ねます（微分キック）。$-dy/dt$（現在値の変化）を使うと避けられます。
• フィードフォワード：重力のように分かっている外乱は、$u = mg + \text{PID}$ のように先に足しておくと、I 項への負担が減り応答が良くなります。
• 固定タイムステップで：可変の $\Delta t$ だと微分と積分の値が不安定になります。

つまずきやすい点

• 調整が難しい：3 つのゲインは互いに影響し合います。まず P だけで振動するところまで上げ、D で揺れを止め、最後に I を少しずつ足すのが基本の手順です。
• 角度のラップ：旋回の制御で誤差を単純な引き算で求めると、359° → 1° で逆回りします。誤差を $[-180°, 180°)$ に正規化します。
• 物理エンジンとの相互作用：制御の更新間隔と物理の更新間隔がずれると、見えない遅れが入って振動の原因になります。制御は物理ステップ内で計算します。

デモで試すこと

1. 初期状態（P + D）では、ドローンは揺れずに止まりますが、目標の線より約 0.49 m 下で釣り合っています。
2. 「Ki（積分）」を 5〜10 程度に上げると、ゆっくりと目標の高さまで上がり、定常偏差が消えます。
3. 「Kd（微分）」を 0 にすると、上下に揺れ続けます。P だけの制御がばねと同じであることが分かります。
4. 「下向きの突風」で外乱を与え、各ゲインの設定で回復の仕方がどう変わるかを比べてください。