Axis-Aligned Bounding Box / AABB

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ひとことで

物体を、座標軸に平行な辺だけでできた箱で囲んだものです。「x の最小と最大」「y の最小と最大」「z の最小と最大」の 6 つの数だけで表せ、2 つの箱が重なるかは、軸ごとに区間が重なるかを比べる 6 回の比較で決まります。形が複雑な物体どうしの正確な判定は重いので、まず AABB どうしで「重なっていない組」を安く捨て、残った組だけを正確に調べます。

ゲームでの使いどころ

• 衝突の候補を絞る：物理エンジンの広域判定は、ほぼ必ず AABB を使う。
• 木構造の箱：BVH や四分木・八分木の節の範囲。
• 画面外の判定・カリング：物体の AABB が視錐台の外なら描かない。
• 2D ゲームの当たり判定：回転しないキャラクターやタイルなら、AABB どうしの判定だけで十分なことが多い。

しくみ

AABB は最小の角 $\mathbf{min}$ と最大の角 $\mathbf{max}$ で表します。2 つの箱 A、B が重なるのは、すべての軸で区間が重なるときです。

1 つの軸でも重ならなければ、その時点で「重なっていない」と決まります（分離軸定理の、軸が座標軸に固定された特別な場合）。

回転する物体の AABB：物体が回転すると、囲む箱の大きさが変わります。作り方は主に 3 つです。

• 頂点から作り直す：物体の頂点（箱なら 8 つの角）をすべて変換し、最小と最大を取ります。ぴったりですが、頂点の多いメッシュでは重くなります。
• 元の箱を回して囲む：物体の元の AABB の 8 つの角だけを変換して囲みます。速いですが、少し大きめになります。中心と半分の大きさ $\mathbf{e}$ を使えば、回転行列の各成分の絶対値 $|R|$ を掛けるだけで求まります（$\mathbf{e}' = |R|\,\mathbf{e}$）。
• 回転しても変わらない箱：物体を囲む球の半径で立方体を作ります。回転のたびに作り直す必要はありませんが、大きすぎて候補が増えます。

実装のポイント

• 少し太らせる：動く物体の AABB を毎フレーム作り直す代わりに、少し大きめ（ファット AABB）にしておき、中身がはみ出したときだけ作り直すと、木構造の更新が減ります（Box2D の動的 AABB 木）。
• 速度の分だけ伸ばす：速い物体は、次のフレームまでの移動分を含むように伸ばしておくと、連続衝突判定の候補も拾えます。
• 中心と半分の大きさで持つ：重なりの判定は $|c_a - c_b| \le e_a + e_b$ を軸ごとに比べる形でも書けます。こちらの方が変換には便利です。

つまずきやすい点

• 細長い物体を斜めにすると大きくなる：棒を 45° 回すと、AABB は棒の何倍もの面積になり、候補が大量に増えます。そういう物体には、回転に合わせた箱（OBB）やBVH を使います。
• 等号の扱い：辺がちょうど接している場合を重なりとするかどうかを、全体でそろえます。
• AABB の重なり＝衝突ではない：箱が重なっても、中の物体が接触しているとは限りません。正確な判定と混同しないようにします。

デモで試すこと

1. 回転しながら飛び回る 16 個の箱に、白い線の AABB が付いています。AABB がほかと重なると黄色になり、中の箱が本当に接触すると箱が赤くなります。
2. 左下で、120 組のうち AABB が重なった組（候補）と、本当に接触した組の数を比べてください。正確な判定は候補の組だけで済みます。
3. 「回転しても変わらない立方体」にすると、箱がずっと大きくなり、候補の数と「AABB の体積 / 箱の体積」が増えます。
4. 「動く速さ」を 0 にして、止まった状態でじっくり比べることもできます。