Smoothed Particle Hydrodynamics

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ひとことで

流体をたくさんの小さな粒子の集まりとして表し、各粒子の密度や圧力を「近くの粒子を、距離に応じた重み（カーネル関数）で足し合わせる」ことで求めて動かす方法です。格子が不要で、水しぶきや、流れが分かれたりくっついたりする動きを自然に扱えるため、水を使うゲームや、流体パズルでよく使われます。

ゲームでの使いどころ

水や液体のゲーム：『Sprinkle』や『Where's My Water?』のような水を導くパズル、ポーションや溶岩が流れる演出。
飛び散る液体：水しぶき、血しぶき、スライムの飛沫など、粒子がばらけて飛ぶ表現。
少量の液体：コップの水、噴水、水たまりなど、狭い範囲の液体。広い海には向きません。
GPU で大量に：近傍探索を GPU で行えば数十万粒子も扱え、NVIDIA FleX などのミドルウェアで使われてきました。

しくみ

カーネルによる推定

SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）の基本は、ある場所の量 $A$ を、周りの粒子 $j$ の値に重み $W$ を掛けて足し合わせて推定することです。

A(\mathbf{x}) \approx \sum_j m_j\,\frac{A_j}{\rho_j}\,W(|\mathbf{x} - \mathbf{x}_j|, h)

$W$ はカーネル関数と呼ばれ、距離 0 で最大、影響半径 $h$ で 0 になる釣り鐘形の関数です。特に密度は、単に周りの粒子の質量を重み付きで足すだけで求まります。

\rho_i = \sum_j m_j\,W(|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j|, h)

粒子の動かし方

密度を求める：上の式で各粒子の密度を計算します。
圧力を求める：密度が基準の密度 $\rho_0$ （水なら 1000 kg/m³）より高ければ、押し広げる圧力を与えます。例えば $p = k(\rho - \rho_0)$ 、より硬い水には Tait の式 $p = B\big((\rho/\rho_0)^7 - 1\big)$ を使います。
力を求める：圧力の勾配（押しのける力）と、粘性（周りと速度をそろえる力）を、カーネルの勾配を使って近くの粒子から集めます。

\mathbf{f}^{\text{圧力}}_i = -\sum_j m_j\,\frac{p_i + p_j}{2\rho_j}\,\nabla W(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j, h)

動かす：重力も加えて、半陰的オイラー法などで速度と位置を更新します。

ゲーム向けの安定化

素直な SPH は、水を縮みにくくしようと圧力を強くすると、非常に小さな時間刻みが必要になります。ゲームでは、Clavet らの「予測・緩和」方式（2005）がよく使われます。粒子をいったん速度で動かしてから、混みすぎた粒子同士を位置で直接押し離し、動いた量から速度を求め直すことで、大きな時間刻みでも安定します。さらに「近距離の密度」に反発する項を加えて、粒子が 1 か所に固まるのを防ぎます。デモはこの方式です。

実装のポイント

近傍探索が主役：各粒子は影響半径 $h$ 以内の粒子としかやり取りしないので、空間を $h$ の大きさのマスに分け（空間ハッシュ）、隣の 9 マス（3 次元なら 27 マス）だけを調べます。これをしないと粒子数の 2 乗の計算になります。
粒子の間隔と影響半径：影響半径は粒子の間隔の 2 倍程度にし、1 粒子あたり 20〜40 個（3 次元）の近傍が入るようにします。
表面の描き方：粒子を球で描くと粒々に見えます。画面上で粒子の深度をぼかして滑らかな水面にする（スクリーンスペース流体）、またはマーチングキューブで表面メッシュを作ります。

つまずきやすい点

圧縮されやすい：圧力を弱くすると水がぶよぶよ縮み、強くすると時間刻みを細かくしないと爆発します。この板挟みを解くために、PBFや IISPH などの方法が作られました。
粒子の固まり（テンサイル不安定）：圧力が負になる所で粒子同士が引き合い、団子状に固まります。負の圧力を 0 に切る、近距離の反発を加える、などで防ぎます。
壁際の密度不足：壁の向こうには粒子がないので、壁際の粒子は密度が低く計算されます。壁の中に動かない粒子（境界粒子）を並べて補います。

デモで試すこと

左に積まれた水の柱が崩れ、波となって右の壁にぶつかり、跳ね返って、やがて平らな水面になります。「ダムを崩す」でくり返せます。
「粒子の色」を「密度（混み具合）」にすると、底のほうの粒子ほど押しつぶされて密度が高い（明るい）ことが分かります。
「圧力の強さ」を下げると、水が縮みやすくなって沈み込み、ぶよぶよした動きになります。左下の「平均の密度」も基準より大きくなります。
「近距離の反発」をオフにすると、粒子が団子状に固まりやすくなります。水槽の中をドラッグすると、棒で水をかき混ぜられます。

Interactive demo