Reaction–Diffusion / Gray–Scott Model

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ひとことで

2 種類の物質が反応しながら広がる（拡散する）様子を計算すると、斑点、しま、迷路、サンゴのような模様がひとりでに生まれます。数学者アラン・チューリングが 1952 年に「動物の模様はこうしてできるのでは」と提案した仕組みで、グレイ・スコット模型はその代表的な計算モデルです。2 つのパラメータを少し変えるだけで、模様の種類ががらりと変わります。

ゲームでの使いどころ

• 生物的なテクスチャ：動物の斑点やしま、珊瑚、脳のようなしわ、菌類の広がり。手描きでは難しい「自然な不規則さ」を持った模様を作れます。
• 成長する表現：感染が広がる、侵食する、魔法の紋様が浮かび上がる、といった時間とともに模様が育つ演出。GPU で毎フレーム計算すれば、リアルタイムに広がります。
• ディスプレイスメント：模様の濃さで表面を盛り上げると（頂点変位）、珊瑚や生き物の皮膚のような立体的な表面になります。
• 手続き的なアート：タイトル画面やアートワークの生成。

しくみ

物質 A（餌）と物質 B（A を食べて増える物質）の濃さ $a$, $b$ を、各マスで次の式に従って更新します。

• $\nabla^2$（ラプラシアン）は「周りの平均との差」で、拡散（周りへ広がってならす働き）を表します。A は B より速く広がります（$D_a = 1$, $D_b = 0.5$ など）。
• $a b^2$ が反応で、B は A を 1 つと B を 2 つで B を 3 つにする（A を食べて増える）。
• $f(1 - a)$ は補給で、A は外から一定の速さ $f$ で補われます。
• $(k + f)\,b$ は除去で、B は一定の速さ $k$ で消えていきます。

模様が生まれる理由：B が増えた場所では A が食べ尽くされます。A は速く広がるので、B の周りの少し離れた場所まで A が減り、そこでは B が育ちません。「近くでは増え、少し離れると抑えられる」という働きが、一定の間隔で B の塊を並べ、模様を作ります（短距離の活性化と長距離の抑制）。

$f$ と $k$ の組み合わせで、模様の種類が決まります。

実装のポイント

• GPU のピンポンバッファで：状態を浮動小数点テクスチャに置き、1 フレームに 10〜40 回ほど更新します。模様が育つのに数千ステップかかるので、1 フレームに何回も回します。
• ラプラシアンは 3×3 の重みで：上下左右 0.2、斜め 0.05、中心 −1 の重みにすると、格子の向きの偏りが少ない丸い模様になります。
• 端をつなぐ：テクスチャの繰り返し設定を使えば、端と端がつながった模様になり、タイル状に敷き詰めたり、ドーナツ形（トーラス）に継ぎ目なく貼ったりできます。
• 最初の種：全体を A = 1、B = 0 にし、ところどころに B の小さな塊を置くと、そこから模様が育ちます。

つまずきやすい点

• 何も起きない・すべて消える：$f$ と $k$ が模様の生まれる範囲から外れると、B がすぐに消えるか、一面に広がって均一になります。模様が出る範囲はとても狭いので、既知の値から少しずつ動かします。
• 時間刻みが大きすぎる：1 ステップの変化を大きくしすぎると、値が暴れて発散します。拡散係数と時間刻みの積が 0.25 程度を超えないようにします。
• テクスチャの伸び：3D モデルに貼ると、UV の伸び縮みに合わせて模様も伸びます。UV の縦横比に合わせてテクスチャの解像度を決めます。

デモで試すこと

1. ドーナツの表面で、サンゴのような模様が育っていきます。模様の濃さ（物質 B の量）で表面が盛り上がっています。
2. 「模様」を切り替えると、補給の速さ f と消える速さ k が変わり、斑点が分裂して増える、迷路のしま模様になる、などがらりと変わります。
3. f と k のスライダーを少しずつ動かして、模様がどう変わるかを確かめてください。ほんのわずかな違いで、模様が消えたり、全体を覆ったりします。
4. 表面をクリックすると、その場所に B を置いて、新しい模様の種をまけます。「種をまき直す」で最初からやり直せます。