B-Spline

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ひとことで

たくさんの制御点を持つ長い曲線を、1 つの制御点を動かしても近くの区間しか変わらないように作る方法です。曲線は各区間ごとに、近くの数個の制御点の重み付き平均として決まります。曲線は制御点を通らない代わりに、つなぎ目まで非常に滑らか（3 次なら 2 階微分まで連続）になります。

$p$ 次の B スプラインは、制御点 $\mathbf{P}_i$ と基底関数 $N_{i,p}(u)$ の和で表されます。

\mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)\,\mathbf{P}_i

基底関数はノット列 $u_0 \le u_1 \le \dots$ から Cox–de Boor の漸化式で定義されます。

N_{i,0}(u) = \begin{cases} 1 & u_i \le u < u_{i+1} \\ 0 & \text{それ以外} \end{cases}, \qquad N_{i,p}(u) = \frac{u - u_i}{u_{i+p} - u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1} - u}{u_{i+p+1} - u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u)

ポイントは、 $N_{i,p}$ が区間 $[u_i, u_{i+p+1})$ の外では 0 になることです。つまり制御点 $\mathbf{P}_i$ が影響するのは $p+1$ 区間だけ。これが局所制御性の正体です。3 次なら、どの点を動かしても変わるのは 4 区間です。

両端の曲線を端の制御点に一致させたいときは、ノット列の両端に同じ値を $p+1$ 個並べます（クランプ）。デモもこの形です。

曲線上の点は de Boor のアルゴリズム（ベジェの De Casteljau を一般化したもの）で安定して求められます。

一様 3 次なら行列 1 つ：ノット間隔が等しい一様 B スプラインは、4 点の区間ごとに固定の 4×4 行列で評価できます。GPU での大量評価に向きます。
通過点を指定したい場合：B スプラインは制御点を通らないため、「この点を通したい」ときは連立方程式を解いて制御点を逆算する（補間）か、カトマル・ロムを使います。