Height-Field Wave Simulation

This explanation is currently available in Japanese.

ひとことで

水面を格子状に並んだ点の高さだけで表し、各点が周りの点との高さの差に引っ張られて動くようにすると、1 か所を押し下げただけで波紋が輪になって広がり、壁で跳ね返り、重なり合うようになります。2 次元の波動方程式を差分で解く、とても軽くて効果の大きい水面の作り方です。

2 次元の波動方程式は、次のように書けます。

\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 h

$\nabla^2 h$ （ラプラシアン）は「周りの平均より、自分がどれだけ低いか」を表します。周りより低い点は上へ、高い点は下へ加速するので、へこみは周りを引き下げながら外へ広がっていきます。

これを格子で近似すると、前のフレームと今のフレームの高さだけで次のフレームが求まります（ベルレ積分と同じ形）。

h^{t+1}_{i,j} = 2h^{t}_{i,j} - h^{t-1}_{i,j} + c^2\,\big(h^{t}_{i-1,j} + h^{t}_{i+1,j} + h^{t}_{i,j-1} + h^{t}_{i,j+1} - 4h^{t}_{i,j}\big)

速度を持たなくてよい：「今の高さ − 前の高さ」が速さの代わりになるので、高さの配列を 2 枚持って交互に使うだけで済みます。
減衰：結果に $(1 - \text{減衰率})$ を掛けて、波が少しずつ消えるようにします。
障害物：岩や壁のマスの高さを常に 0 にしておくと、そこで波が跳ね返ります。池の縁も同じです。
安定の条件： $c^2$ （1 ステップで波が進む距離の 2 乗）が 0.5 を超えると計算が発散します。速い波が欲しいときは、1 フレームを複数ステップに分けます。

GPU なら[ピンポンバッファ](/keywords/implementation/performance/ping-pong-buffers/)：読むテクスチャと書くテクスチャを毎フレーム入れ替えます。 $512^2$ でもほとんど負荷がかかりません。
しずくの落とし方：1 マスだけ下げるとぎざぎざの波になります。半径数マスに、中心ほど深い形でへこみを与えます。
描画：高さを頂点の上下に使うか、法線マップだけに使います（頂点を動かさず、法線の傾きだけで波紋を見せる方法は非常に軽量です）。法線は周りの高さの差から求めます。
平均の高さのずれ：押し下げるだけの操作をくり返すと、水面全体が少しずつ下がっていきます。毎フレーム平均を 0 に戻すか、押し下げたのと同じ量を周りに足します。

格子の向きがにじみ出る：上下左右の 4 近傍だけを使うと、斜め方向の波が少し遅くなり、波紋が四角っぽくなることがあります。斜めの 4 点も重みを付けて加えると丸くなります。
境界での跳ね返りが強すぎる：開けた水面の端では、波が消えてほしいのに跳ね返ってしまいます。端の近くだけ減衰を強くする（吸収層）と自然に消えます。
水の流れは表せない：高さ場の波は「その場で上下する」だけで、水そのものは移動しません。流れや水かさの変化が必要なら浅水波モデルを使います。