継承を表す記号 `<` について

Twitter で「Ruby の継承で < が使われているのはなぜ？」という疑問を見かけたので、私の理解をまとめておく。プログラミング言語周辺の理論に触れたことがない人にとっては、むしろ自然な疑問だと思う。同じ疑問を持った人の助けになれば幸いだ。

##TL;DR

• プログラミング言語でいう A < B（A, B は型）は、型を「値の集合」とみなすと 包含関係 $\llbracket A \rrbracket \subseteq \llbracket B \rrbracket$ に対応付けられる
• 継承（サブクラス化）を「B の中で、より具体的な（制約の強い）集合として A を定義する行為」とみなすと、< が “部分集合＝より小さい” を表す記号として自然に見えてくる
• 型理論ではサブタイプ関係を <: や ≤ などで表す慣習があり、Ruby の < はその直観（より具体的／より小さい）と整合的に説明できる
  （Ruby がどの文献・言語から直接影響を受けたかは断定しない）

##集合としての型

ここでいう「型」は、直観のために「クラス（Dog や Animal）」「数値」「文字列」などを思い浮かべてもらうと入りやすい。 厳密には型は単なるクラスではないし、集合と完全に同一視もできないのだが、この記事の目的（< の直観）にはこの比喩が役に立つ。

型に対する感覚は人によって大きく異なる。単純型から始まり、ジェネリクス／型変数、型システム、型レベル計算、型クラス、定理証明支援系、そして HoTT¹ へ……と、経路は様々だろう。ここでは「型を集合として見る」という、多くの人が受け取りやすい見方を採用する。

より体系的に学びたい人には TAPL が定番の入門書としてよく挙げられる。ただし（良い意味で）それなりに前提知識は要求されるので、『理系でいうところの入門書²』という但し書きが付くタイプだ。

閑話休題。

型を「値の集合」として捉えると、A < B と書いたとき、その関係は次の図のように表せる。

A は B に包含される。言い換えると、A として型付けされた値（a1, a2）は B としても扱える、という直観になる。（よく知られた言い回しに寄せるなら「A は B のサブタイプ」だ。）

A と B だけでは味気ないので Ruby のクラスを例にしてみよう。

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class Animal
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  def speak
3
    "..."
4
  end
5
end
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class Dog < Animal
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  def bark
9
    "ワン"
10
  end
11
end
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dog = Dog.new
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dog.is_a?(Animal) #=> true
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Dog < Animal      #=> true  # Module#<: 祖先関係（サブクラス関係）を判定している
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cat = Animal.new
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cat.is_a?(Dog)    #=> false

Dog は Animal を継承しているので、Dog のインスタンスは Animal としても振る舞える（少なくとも型の直観としてはそう説明できる）。つまり、Dog の「値の集合」は Animal の「値の集合」に包含され、Dog は Animal のサブタイプである。

これを図にすると次のようになる。

この比喩のもとでは、継承（サブクラス化）は「包含関係（部分集合関係）を作る行為」として捉えられる。そして部分集合は“全体より小さい”ので、class A < B を

• A は B より 具体的（制約が強い）
• A の集合は B の集合より 小さい（$\subseteq$）

という直観で読むと、< を使うことが自然に見えてくる。

##「< はどこから来たのか？」についての補足

ここまでの議論は「なぜ < が直観に合うか」の説明であって、「Ruby がどこから < を輸入したか」の断定ではない。

ただ、型理論・型システムの文脈では、サブタイプ関係を

• A <: B（“A is a subtype of B”）
• A ≤ B / A ⊑ B

のように表す流儀がよくある。この <: の “< 側” は「より小さい（より具体的）」という直観と相性がよいので、Ruby の class Dog < Animal も同じ方向の読み替えで理解できる。

型と集合のアナロジーを踏まえて < を ⊆ と見なすと、最初の疑問（「なぜ <？」）はかなりの程度解消されるはずだ。

※ なお、現実の OO 設計では「継承（サブクラス化）＝常に安全なサブタイピング」とは限らない、という論点もある（リスコフの置換原則など）。ただしこの記事の目的は「記号としての < の直観」なので、ここでは深入りしない。