Gaussian / Normal Sampling

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ひとことで

平均の近くの値がいちばん多く出て、外れるほど急にまれになる、つりがね形の分布（正規分布、ガウス分布）に従う乱数の作り方です。銃弾の散らばり、ダメージのぶれ、キャラクターの身長の個体差など、自然なばらつきの多くはこの形をしています。一様な乱数では「中心に集まる」感じが出ません。代表的な作り方が、2 つの一様乱数から 2 つの正規乱数を作るボックス＝ミュラー法です。

ゲームでの使いどころ

• 弾のばらつき・反動：狙いの中心に多く当たり、たまに大きく外れる散らばり。撃ち続けると $\sigma$ を大きくして精度を落とす。
• ダメージ・能力値のぶれ：「平均 100、たいてい 90〜110」のような値。一様乱数より平均の近くに集まり、極端な値がまれになる。
• 群れや配置の個体差：木の高さ、群衆の歩く速さ、草の傾きに少しずつ違いを付ける。
• 動きの揺れ：手ぶれ、カメラの揺れ、AI の狙いの誤差。

しくみ

平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布の確率密度は

です。1 次元では $\pm 1\sigma$ に約 68%、$\pm 2\sigma$ に約 95%、$\pm 3\sigma$ に約 99.7% が入ります。2 次元の的の上では、半径 $k\sigma$ の円の内側に入る割合は $1 - e^{-k^2/2}$ で、1σ で約 39%、2σ で約 86%、3σ で約 99% です。

ボックス＝ミュラー法：2 次元の正規分布は、中心からの距離と角度に分けると扱いやすくなります。角度は一様、距離の 2 乗は指数分布になるので、逆 CDF 法で

とすれば、$z_1, z_2$ は独立な標準正規分布（平均 0、分散 1）に従います。$x = \mu + \sigma z$ で好きな平均と広がりにします。

一様乱数の和：一様乱数を何個か足すと、中心極限定理により、和はつりがね形に近づきます。3 個でもかなり近く、12 個足して 6 を引く方法は昔からの手軽な近似です。ただし、足した個数で決まる範囲の外には決して出ません。

実装のポイント

• 2 つとも使う：ボックス＝ミュラー法は一度に 2 つの値を作ります。1 つしか要らないときは、もう 1 つを次回用に取っておくと無駄がありません。
• 範囲を切る：まれに非常に大きな値が出ます。ダメージなどでは $\pm 3\sigma$ で打ち切る（範囲外なら引き直す）と、極端な結果を防げます。
• 3 次元の方向：正規乱数を 3 つ並べて正規化すると、球面上で一様な方向になります。
• GPU では：log や cos が気になる場合は、一様乱数 3〜4 個の和で十分なことが多いです。

つまずきやすい点

• u1 = 0 で無限大：乱数が 0 を返すと $\ln 0$ で無限大になります。0 を避けるか、$1 - u$ を使います。
• 分散と標準偏差の取り違え：$\sigma$ は標準偏差です。分散 $\sigma^2$ を渡すと、ばらつきがまったく違う大きさになります。
• 半径だけ正規分布にする：2 次元の散らばりを作るのに、半径を正規分布、角度を一様にすると、中心に点が集まりすぎます（半径 0 の付近の面積は小さいため）。2 つの軸をそれぞれ正規分布にします。

デモで試すこと

1. 的に弾が当たり続けます。「正規分布」では中心に多く集まり、外へ行くほどまれになります。左下で、1σ・2σ・3σ の円の内側に入った割合が、正規分布の値（39% / 86% / 99%）に近づくことを確かめてください。
2. 右下のヒストグラムは横方向のずれで、点線のつりがね形と重なります。
3. 「一様乱数 3 個の和」も見た目はほとんど同じですが、3σ の円より外には決して当たりません。
4. 「一様（四角）」と「一様（円盤）」は、同じ大きさのばらつきでも中心への集まりがなく、狙っている感じがしません。「ばらつきの大きさ σ」を変えると、円の大きさも一緒に変わります。